გადაწყვიტეთ 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -8.

$$-1,8 -2,4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=-1 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+7x-4, როგორც \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-1=0 და x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 7-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 49 32-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

აიღეთ 81-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±9}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 9-ს.

$$x=\frac{2}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±9}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 9 -7-ს.

$$x=-\frac{16}{4}$$

გაყავით -16 4-ზე.

$$x=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$2x^{2}+7x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

გაყავით 4 2-ზე.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

გაყავით \frac{7}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

მიუმატეთ 2 \frac{49}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

გამოაკელით \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$