გადაწყვიტეთ 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=-3 b=10$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+7x-15, როგორც \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-3=0 და x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 7-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 49 120-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±13}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 13-ს.

$$x=\frac{6}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±13}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 -7-ს.

$$x=-\frac{20}{4}$$

გაყავით -20 4-ზე.

$$x=-5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

გამოაკელით -15 0-ს.

$$2x^{2}+7x=15$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

გაყავით \frac{7}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} \frac{49}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

გამოაკელით \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$