გადაწყვიტეთ 2x^2+6x+12=0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x + 12 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1.5+1.936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1.5-1.936491673i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 6-ით b და 12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 12}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 36 -96-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-60}}{2\times 2}$$

აიღეთ -60-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 2i\sqrt{15}-ს.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{15}i}{4}$$

გაყავით -6+2i\sqrt{15} 4-ზე.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{15} -6-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-6}{4}$$

გაყავით -6-2i\sqrt{15} 4-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+6x+12-12=-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+6x=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=-\frac{12}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=-\frac{12}{2}$$

გაყავით 6 2-ზე.

$$x^{2}+3x=-\frac{12}{2}$$

გაყავით -12 2-ზე.

$$x^{2}+3x=-6$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-6+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -6 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{15}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$