გადაწყვიტეთ 2x^2+4x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{3}-1\approx 0.732050808$$

$$x=-\left(\sqrt{3}+1\right)\approx -2.732050808$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+4x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 4-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 16 32-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\times 2}$$

აიღეთ 48-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 4\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-4}{4}$$

გაყავით -4+4\sqrt{3} 4-ზე.

$$x=\sqrt{3}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{3} -4-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-4}{4}$$

გაყავით -4-4\sqrt{3} 4-ზე.

$$x=-\sqrt{3}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$2x^{2}+4x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{4}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{4}{2}$$

გაყავით 4 2-ზე.

$$x^{2}+2x=\frac{4}{2}$$

გაყავით 4 2-ზე.

$$x^{2}+2x=2$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=2+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=2+1$$

მიუმატეთ 2 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=3$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=3$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{3} x+1=-\sqrt{3}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{3}-1\approx 0.732050808$$

$$x=-\sqrt{3}-1\approx -2.732050808$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+4x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 4-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 16 32-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\times 2}$$

აიღეთ 48-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 4\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-4}{4}$$

გაყავით -4+4\sqrt{3} 4-ზე.

$$x=\sqrt{3}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{3} -4-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-4}{4}$$

გაყავით -4-4\sqrt{3} 4-ზე.

$$x=-\sqrt{3}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$2x^{2}+4x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{4}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{4}{2}$$

გაყავით 4 2-ზე.

$$x^{2}+2x=\frac{4}{2}$$

გაყავით 4 2-ზე.

$$x^{2}+2x=2$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=2+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=2+1$$

მიუმატეთ 2 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=3$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=3$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{3} x+1=-\sqrt{3}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$