გადაწყვიტეთ 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-90. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-12 b=15$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+3x-90, როგორც \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

2x-ის პირველ, 15-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 3-ით b და -90-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 9 720-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

აიღეთ 729-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±27}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 27-ს.

$$x=\frac{24}{4}$$

გაყავით 24 4-ზე.

$$x=6$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±27}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 27 -3-ს.

$$x=-\frac{30}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{15}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

მიუმატეთ 90 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

-90-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

გამოაკელით -90 0-ს.

$$2x^{2}+3x=90$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

გაყავით 90 2-ზე.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

გაყავით \frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ 45 \frac{9}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$