გადაწყვიტეთ 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-20. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-5 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+3x-20, როგორც \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-5=0 და x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 3-ით b და -20-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 9 160-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±13}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 13-ს.

$$x=\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±13}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 -3-ს.

$$x=-\frac{16}{4}$$

გაყავით -16 4-ზე.

$$x=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

გამოაკელით -20 0-ს.

$$2x^{2}+3x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

გაყავით 20 2-ზე.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

გაყავით \frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ 10 \frac{9}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$