გადაწყვიტეთ 2x^2+3x=65

$$2 x ^ { 2 } + 3 x = 65$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

$$x=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 65 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+3x-65=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-65. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=2\left(-65\right)=-130$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -130.

$$-1,130 -2,65 -5,26 -10,13$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+130=129 -2+65=63 -5+26=21 -10+13=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-10 b=13$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+3x-65, როგორც \left(2x^{2}-10x\right)+\left(13x-65\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(13x-65\right)$$

2x-ის პირველ, 13-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-5\right)+13\left(x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(2x+13\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და 2x+13=0.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+3x=65$$

გამოაკელით 65 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+3x-65=65-65$$

65-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+3x-65=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 3-ით b და -65-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -65.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+520}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 9 520-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{529}}{2\times 2}$$

აიღეთ 529-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±23}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-3±23}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±23}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 23-ს.

$$x=\frac{20}{4}$$

გაყავით 20 4-ზე.

$$x=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±23}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 23 -3-ს.

$$x=-\frac{26}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-26}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{13}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x=65$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{65}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{65}{2}$$

გაყავით \frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{65}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{65}{2}+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ \frac{65}{2} \frac{9}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{529}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{529}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{23}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{23}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$