გადაწყვიტეთ 2x^2+3x+17=1

$$2 x ^ { 2 } + 3 x + 17 = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}\approx -0.75+2.727178029i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}\approx -0.75-2.727178029i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+3x+17-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+3x+17-1=0$$

გამოაკელით 1 17-ს.

$$2x^{2}+3x+16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 3-ით b და 16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 16}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-128}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 9 -128-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-119}}{2\times 2}$$

აიღეთ -119-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{119}-ს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{119} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

გამოაკელით 17 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+3x+17-17=1-17$$

17-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+3x=1-17$$

გამოაკელით 17 1-ს.

$$2x^{2}+3x=-16$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{16}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{16}{2}$$

გაყავით -16 2-ზე.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-8$$

გაყავით \frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-8+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-8+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ -8 \frac{9}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{119}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{119}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{119}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{119}i}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$