გადაწყვიტეთ 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 2-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 4 -8-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

აიღეთ -4-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2i-ს.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

გაყავით -2+2i 4-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i -2-ს.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

გაყავით -2-2i 4-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

გაყავით 2 2-ზე.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$