გადაწყვიტეთ 2x^2+15x=8x-5

$$2 x ^ { 2 } + 15 x = 8 x - 5$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

დააჯგუფეთ 15x და -8x, რათა მიიღოთ 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx+5. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 10.

$$1,10 2,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+10=11 2+5=7$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=2 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+7x+5, როგორც \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

2x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+1=0 და 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

დააჯგუფეთ 15x და -8x, რათა მიიღოთ 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 7-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 49 -40-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±3}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 3-ს.

$$x=-\frac{4}{4}$$

გაყავით -4 4-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±3}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 -7-ს.

$$x=-\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

დააჯგუფეთ 15x და -8x, რათა მიიღოთ 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

გაყავით \frac{7}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{2} \frac{49}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

გამოაკელით \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$