გადაწყვიტეთ 2x^2+12x=66

$$2 x ^ { 2 } + 12 x = 66$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{42}-3\approx 3.480740698$$

$$x=-\left(\sqrt{42}+3\right)\approx -9.480740698$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+12x=66$$

გამოაკელით 66 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+12x-66=66-66$$

66-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+12x-66=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 12-ით b და -66-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -66.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+528}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 144 528-ს.

$$x=\frac{-12±\sqrt{672}}{2\times 2}$$

აიღეთ 672-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 4\sqrt{42}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{42}-12}{4}$$

გაყავით -12+4\sqrt{42} 4-ზე.

$$x=\sqrt{42}-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{42} -12-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{42}-12}{4}$$

გაყავით -12-4\sqrt{42} 4-ზე.

$$x=-\sqrt{42}-3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x=66$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{66}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{66}{2}$$

გაყავით 12 2-ზე.

$$x^{2}+6x=\frac{66}{2}$$

გაყავით 66 2-ზე.

$$x^{2}+6x=33$$

გაყავით 6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+6x+3^{2}=33+3^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}+6x+9=33+9$$

მიუმატეთ 33 9-ს.

$$x^{2}+6x+9=42$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+6x+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=42$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{42}$$

გაამარტივეთ.

$$x+3=\sqrt{42} x+3=-\sqrt{42}$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{42}-3\approx 3.480740698$$

$$x=-\sqrt{42}-3\approx -9.480740698$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+12x=66$$

გამოაკელით 66 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+12x-66=66-66$$

66-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+12x-66=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 12-ით b და -66-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -66.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+528}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 144 528-ს.

$$x=\frac{-12±\sqrt{672}}{2\times 2}$$

აიღეთ 672-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 4\sqrt{42}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{42}-12}{4}$$

გაყავით -12+4\sqrt{42} 4-ზე.

$$x=\sqrt{42}-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{42} -12-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{42}-12}{4}$$

გაყავით -12-4\sqrt{42} 4-ზე.

$$x=-\sqrt{42}-3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x=66$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{66}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{66}{2}$$

გაყავით 12 2-ზე.

$$x^{2}+6x=\frac{66}{2}$$

გაყავით 66 2-ზე.

$$x^{2}+6x=33$$

გაყავით 6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+6x+3^{2}=33+3^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}+6x+9=33+9$$

მიუმატეთ 33 9-ს.

$$x^{2}+6x+9=42$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+6x+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=42$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{42}$$

გაამარტივეთ.

$$x+3=\sqrt{42} x+3=-\sqrt{42}$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$