გადაწყვიტეთ 2x+ky=3text{and}x+y=1

$$2 x + k y = 3 \text { and } x + y = 1$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{3-k}{k-2}$$

$$y=\frac{1}{k-2}$$

$$k\neq 2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+ky=3$$

გამოაკელით ky განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\left(-k\right)y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(\left(-k\right)y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -ky+3.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-ky+3}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=1.

$$\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}+y=1$$

მიუმატეთ -\frac{ky}{2} y-ს.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y+\frac{3}{2}=1$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y=-\frac{1}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{k}{2}+1-ზე.

$$y=-\frac{1}{2-k}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{2-k}-ით y აქ: x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)\left(-\frac{1}{2-k}\right)+\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{k}{2}-ზე -\frac{1}{2-k}.

$$x=\frac{k}{2\left(2-k\right)}+\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} \frac{k}{2\left(2-k\right)}-ს.

$$x=\frac{3-k}{2-k}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3-k}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}&\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}\times 3-\frac{k}{2-k}\\\left(-\frac{1}{2-k}\right)\times 3+\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k-3}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{k-3}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

იმისათვის, რომ 2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2x+ky=3,2x+2y=2$$

გამოაკელით 2x+2y=2 2x+ky=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+ky-2y=3-2$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$ky-2y=3-2$$

მიუმატეთ ky -2y-ს.

$$\left(k-2\right)y=3-2$$

მიუმატეთ 3 -2-ს.

$$\left(k-2\right)y=1$$

ორივე მხარე გაყავით k-2-ზე.

$$y=\frac{1}{k-2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{k-2}-ით y აქ: x+y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+\frac{1}{k-2}=1$$

გამოაკელით \frac{1}{k-2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{k-3}{k-2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{k-3}{k-2},y=\frac{1}{k-2}$$