გადაწყვიტეთ 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$t=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2t^{2}+at+bt-9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -3.

$$a=-6 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ 2t^{2}-3t-9, როგორც \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

2t-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი t-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით t-3=0 და 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -3-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 9 72-ს.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

აიღეთ 81-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{3±9}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 9-ს.

$$t=\frac{12}{4}$$

გაყავით 12 4-ზე.

$$t=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{3±9}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 9 3-ს.

$$t=-\frac{6}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$t=-\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$2t^{2}-3t=9$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

გაყავით -\frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} \frac{9}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$