გადაწყვიტეთ 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

ამოხსნა r-ისთვის

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2r^{2}+ar+br+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 4.

$$1,4 2,2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+4=5 2+2=4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=1 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 2r^{2}+5r+2, როგორც \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

r-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2r+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2r+1=0 და r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 5-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 25 -16-ს.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება r=\frac{-5±3}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 3-ს.

$$r=-\frac{2}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$r=-\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება r=\frac{-5±3}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 -5-ს.

$$r=-\frac{8}{4}$$

გაყავით -8 4-ზე.

$$r=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

გაყავით -2 2-ზე.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

გაყავით \frac{5}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

მიუმატეთ -1 \frac{25}{16}-ს.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

გამოაკელით \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$