გადაწყვიტეთ 2x^2-7x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } -7x+5=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx+5. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -7.

$$a=-5 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}-7x+5, როგორც \left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right)$$

x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-5\right)-\left(2x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-5\right)\left(x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-5=0 და x-1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -7-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 49 -40-ს.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$x=\frac{7±3}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{7±3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±3}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 3-ს.

$$x=\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±3}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 7-ს.

$$x=\frac{4}{4}$$

გაყავით 4 4-ზე.

$$x=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-7x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-7x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

გაყავით -\frac{7}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{2} \frac{49}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

მიუმატეთ \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$