გადაწყვიტეთ 2x^2-7x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } -7x+3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx+3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-7 ab=2\times 3=6$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -7.

$$a=-6 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}-7x+3, როგორც \left(2x^{2}-6x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(-x+3\right)$$

2x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-3\right)\left(2x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-3=0 და 2x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-7x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -7-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 49 -24-ს.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\times 2}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$x=\frac{7±5}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{7±5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±5}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 5-ს.

$$x=\frac{12}{4}$$

გაყავით 12 4-ზე.

$$x=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±5}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 7-ს.

$$x=\frac{2}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-7x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-7x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{3}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

გაყავით -\frac{7}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{2} \frac{49}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

მიუმატეთ \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$