გადაწყვიტეთ 2x^2-5x-18=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x-18 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-18. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-9 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}-5x-18, როგორც \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-9 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-9=0 და x+2=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -5-ით b და -18-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -18.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 25 144-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 2}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{5±13}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±13}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 13-ს.

$$x=\frac{18}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{18}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{9}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±13}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 5-ს.

$$x=-\frac{8}{4}$$

გაყავით -8 4-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

-18-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-18\right)$$

გამოაკელით -18 0-ს.

$$2x^{2}-5x=18$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{18}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

გაყავით 18 2-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=9$$

გაყავით -\frac{5}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

მიუმატეთ 9 \frac{25}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$