გადაწყვიტეთ 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1.25+2.633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1.25-2.633913438i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -5-ით b და 17-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 25 -136-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

აიღეთ -111-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 i\sqrt{111}-ს.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{111} 5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

გამოაკელით 17 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

17-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

გაყავით -\frac{5}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{17}{2} \frac{25}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$