გადაწყვიტეთ 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9.764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2.764982043$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -14-ით b და -54-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 196 432-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

აიღეთ 628-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 2\sqrt{157}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

გაყავით 14+2\sqrt{157} 4-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{157} 14-ს.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

გაყავით 14-2\sqrt{157} 4-ზე.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

მიუმატეთ 54 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

-54-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

გამოაკელით -54 0-ს.

$$2x^{2}-14x=54$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

გაყავით -14 2-ზე.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

გაყავით 54 2-ზე.

$$x^{2}-7x=27$$

გაყავით -7, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

მიუმატეთ 27 \frac{49}{4}-ს.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-7x+\frac{49}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$