გადაწყვიტეთ 2x^2-14x+25=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+25=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i=3.5+0.5i$$

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i=3.5-0.5i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -14-ით b და 25-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 25}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 25.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-200}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 196 -200-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

აიღეთ -4-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2i}{2\times 2}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±2i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{14±2i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 2i-ს.

$$x=\frac{14+2i}{4}$$

გაყავით 14+2i 4-ზე.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i 14-ს.

$$x=\frac{14-2i}{4}$$

გაყავით 14-2i 4-ზე.

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

გამოაკელით 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-14x+25-25=-25$$

25-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-14x=-25$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{25}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{25}{2}$$

გაყავით -14 2-ზე.

$$x^{2}-7x=-\frac{25}{2}$$

გაყავით -7, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{25}{2}+\frac{49}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{25}{2} \frac{49}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{1}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-7x+\frac{49}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}i x-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}i$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$