გადაწყვიტეთ 2x^2-13x=-20

$$2 { x }^{ 2 } -13x=-20$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

დაამატეთ 20 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-13x+20=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx+20. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-13 ab=2\times 20=40$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -13.

$$a=-8 b=-5$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}-13x+20, როგორც \left(2x^{2}-8x\right)+\left(-5x+20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(-5x+20\right)$$

2x-ის პირველ, -5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-4\right)-5\left(x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-4\right)\left(2x-5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-4=0 და 2x-5=0.

$$x=4 x=\frac{5}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-13x=-20$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-13x-\left(-20\right)=-20-\left(-20\right)$$

-20-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-13x-\left(-20\right)=0$$

გამოაკელით -20 0-ს.

$$2x^{2}-13x+20=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -13-ით b და 20-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 20}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 20.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-160}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 169 -160-ს.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±3}{2\times 2}$$

-13-ის საპირისპიროა 13.

$$x=\frac{13±3}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{13±3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{13±3}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 13 3-ს.

$$x=\frac{16}{4}$$

გაყავით 16 4-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{13±3}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 13-ს.

$$x=\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{20}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{20}{2}$$

გაყავით -20 2-ზე.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-10$$

გაყავით -\frac{13}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{13}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{13}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{13}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-10+\frac{169}{16}$$

მიუმატეთ -10 \frac{169}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{9}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{3}{4}$$

მიუმატეთ \frac{13}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4 x=\frac{5}{2}$$