გადაწყვიტეთ 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx+21. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -13.

$$a=-7 b=-6$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}-13x+21, როგორც \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

x-ის პირველ, -3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-7=0 და x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -13-ით b და 21-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 169 -168-ს.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

-13-ის საპირისპიროა 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{13±1}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 13 1-ს.

$$x=\frac{14}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{14}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{7}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{13±1}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 13-ს.

$$x=\frac{12}{4}$$

გაყავით 12 4-ზე.

$$x=3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

21-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-13x=-21$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

გაყავით -\frac{13}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{13}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{13}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{13}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{21}{2} \frac{169}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{13}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$