გადაწყვიტეთ 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-40. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -11.

$$a=-16 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}-11x-40, როგორც \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

2x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-8 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-8=0 და 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -11-ით b და -40-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 121 320-ს.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

აიღეთ 441-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±21}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 21-ს.

$$x=\frac{32}{4}$$

გაყავით 32 4-ზე.

$$x=8$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±21}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 21 11-ს.

$$x=-\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

მიუმატეთ 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

-40-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

გამოაკელით -40 0-ს.

$$2x^{2}-11x=40$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

გაყავით 40 2-ზე.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

გაყავით -\frac{11}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

მიუმატეთ 20 \frac{121}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

მიუმატეთ \frac{11}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$