გადაწყვიტეთ 2x^2+x=6

$$2 { x }^{ 2 } +x=6$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+x-6=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-6. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=2\left(-6\right)=-12$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-3 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+x-6, როგორც \left(2x^{2}-3x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(4x-6\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-3\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-3=0 და x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+x=6$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+x-6=6-6$$

6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+x-6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 1-ით b და -6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 1 48-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-1±7}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±7}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 7-ს.

$$x=\frac{6}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±7}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 -1-ს.

$$x=-\frac{8}{4}$$

გაყავით -8 4-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{6}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{6}{2}$$

გაყავით 6 2-ზე.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=3$$

გაყავით \frac{1}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=3+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=3+\frac{1}{16}$$

მიუმატეთ 3 \frac{1}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

გამოაკელით \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$