გადაწყვიტეთ 2x^2+x+1=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}\approx -0.25+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}\approx -0.25-0.661437828i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 1-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 1 -8-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

აიღეთ -7-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{7}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{7}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 i\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{7}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{7} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{1}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}$$

გაყავით \frac{1}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{1}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{7}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

გამოაკელით \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$