გადაწყვიტეთ 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

$$x=8$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-168. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=-16 b=21$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+5x-168, როგორც \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

2x-ის პირველ, 21-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-8 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-8=0 და 2x+21=0.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 5-ით b და -168-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 25 1344-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

აიღეთ 1369-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±37}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 37-ს.

$$x=\frac{32}{4}$$

გაყავით 32 4-ზე.

$$x=8$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±37}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 37 -5-ს.

$$x=-\frac{42}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-42}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{21}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

მიუმატეთ 168 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

-168-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

გამოაკელით -168 0-ს.

$$2x^{2}+5x=168$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

გაყავით 168 2-ზე.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

გაყავით \frac{5}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

მიუმატეთ 84 \frac{25}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

გამოაკელით \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$