გადაწყვიტეთ 2x^2+5x+3=20

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1.922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4.422144385$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

20-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

გამოაკელით 20 3-ს.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 5-ით b და -17-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 25 136-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 \sqrt{161}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{161} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

გამოაკელით 3 20-ს.

$$2x^{2}+5x=17$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

გაყავით \frac{5}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

მიუმატეთ \frac{17}{2} \frac{25}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

გამოაკელით \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$