გადაწყვიტეთ 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 2x^{2}+ax+bx-24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 13.

$$a=-3 b=16$$

ხელახლა დაწერეთ 2x^{2}+13x-24, როგორც \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

x-ის პირველ, 8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-3=0 და x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 13-ით b და -24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 169 192-ს.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±19}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -13 19-ს.

$$x=\frac{6}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±19}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 -13-ს.

$$x=-\frac{32}{4}$$

გაყავით -32 4-ზე.

$$x=-8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

მიუმატეთ 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

გამოაკელით -24 0-ს.

$$2x^{2}+13x=24$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

გაყავით 24 2-ზე.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

გაყავით \frac{13}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{13}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{13}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{13}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

მიუმატეთ 12 \frac{169}{16}-ს.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

გამოაკელით \frac{13}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$