გადაწყვიტეთ 180=3x+x^2

$$180 = 3 x + x ^ { 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-15$$

$$x=12$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3x+x^{2}=180$$

გამოაკელით 180 ორივე მხარეს.

$$3x+x^{2}-180=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$x^{2}+3x-180=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+3x-180 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=-180$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-12 b=15$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-12=0 და x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3x+x^{2}=180$$

გამოაკელით 180 ორივე მხარეს.

$$3x+x^{2}-180=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$x^{2}+3x-180=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-180. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-12 b=15$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+3x-180, როგორც \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

x-ის პირველ, 15-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-12 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-12=0 და x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3x+x^{2}=180$$

გამოაკელით 180 ორივე მხარეს.

$$3x+x^{2}-180=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+3x-180=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 3-ით b და -180-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

მიუმატეთ 9 720-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

აიღეთ 729-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±27}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 27-ს.

$$x=\frac{24}{2}$$

გაყავით 24 2-ზე.

$$x=12$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±27}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 27 -3-ს.

$$x=-\frac{30}{2}$$

გაყავით -30 2-ზე.

$$x=-15$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=12 x=-15$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3x+x^{2}=180$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=180$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 180 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=12 x=-15$$