გადაწყვიტეთ 18x^2-30x+11=0

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1.122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0.544658199$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 18-ით a, -30-ით b და 11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

აიყვანეთ კვადრატში -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

გაამრავლეთ -72-ზე 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

მიუმატეთ 900 -792-ს.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

აიღეთ 108-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

-30-ის საპირისპიროა 30.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 30 6\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

გაყავით 30+6\sqrt{3} 36-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{3} 30-ს.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

გაყავით 30-6\sqrt{3} 36-ზე.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

გამოაკელით 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$18x^{2}-30x=-11$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

18-ზე გაყოფა აუქმებს 18-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

გაყავით -\frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ -\frac{11}{18} \frac{25}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

მიუმატეთ \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$