გადაწყვიტეთ 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 18x^{2}+ax+bx-5. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -9.

$$a=-15 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 18x^{2}-9x-5, როგორც \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 3x 18x^{2}-15x-ში.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 6x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 6x-5=0 და 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 18-ით a, -9-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

აიყვანეთ კვადრატში -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

გაამრავლეთ -72-ზე -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

მიუმატეთ 81 360-ს.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

აიღეთ 441-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9-ის საპირისპიროა 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±21}{36} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 9 21-ს.

$$x=\frac{30}{36}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{30}{36} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±21}{36} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 21 9-ს.

$$x=-\frac{12}{36}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{36} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 12-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

გამოაკელით -5 0-ს.

$$18x^{2}-9x=5$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

18-ზე გაყოფა აუქმებს 18-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-9}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 9-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

გაყავით -\frac{1}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

მიუმატეთ \frac{5}{18} \frac{1}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$