გადაწყვიტეთ 16x-3x^2=36

$$16 x - 3 x ^ { 2 } = 36$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+8}{3}\approx 2.666666667-2.211083194i$$

$$x=\frac{8+2\sqrt{11}i}{3}\approx 2.666666667+2.211083194i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+16x=36$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}+16x-36=36-36$$

36-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}+16x-36=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 16-ით b და -36-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\left(-36\right)}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\left(-36\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\left(-36\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე -36.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-432}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 256 -432-ს.

$$x=\frac{-16±\sqrt{-176}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ -176-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{11}i}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{11}i}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±4\sqrt{11}i}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -16 4i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{-16+4\sqrt{11}i}{-6}$$

გაყავით -16+4i\sqrt{11} -6-ზე.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+8}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±4\sqrt{11}i}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{11} -16-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-16}{-6}$$

გაყავით -16-4i\sqrt{11} -6-ზე.

$$x=\frac{8+2\sqrt{11}i}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+8}{3} x=\frac{8+2\sqrt{11}i}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x=36$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=\frac{36}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=\frac{36}{-3}$$

გაყავით 16 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{36}{-3}$$

გაყავით 36 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-12$$

გაყავით -\frac{16}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{8}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{8}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{8}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-12+\frac{64}{9}$$

მიუმატეთ -12 \frac{64}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{44}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{44}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{44}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{2\sqrt{11}i}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{2\sqrt{11}i}{3}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{8+2\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{11}i+8}{3}$$