გადაწყვიტეთ 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0.25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0.25i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, -64-ით b და 65-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 4096 -4160-ს.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

აიღეთ -64-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

-64-ის საპირისპიროა 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{64±8i}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 64 8i-ს.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

გაყავით 64+8i 32-ზე.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{64±8i}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8i 64-ს.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

გაყავით 64-8i 32-ზე.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

გამოაკელით 65 განტოლების ორივე მხარეს.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

65-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

16-ზე გაყოფა აუქმებს 16-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

გაყავით -64 16-ზე.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

გაყავით -4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

მიუმატეთ -\frac{65}{16} 4-ს.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$