გადაწყვიტეთ 16x^2+74x+9=0

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0.125$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 16x^{2}+ax+bx+9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 74.

$$a=2 b=72$$

ხელახლა დაწერეთ 16x^{2}+74x+9, როგორც \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right).

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

2x-ის პირველ, 9-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 8x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 8x+1=0 და 2x+9=0.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, 74-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში 74.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე 9.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 5476 -576-ს.

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

აიღეთ 4900-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-74±70}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -74 70-ს.

$$x=-\frac{4}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-4}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-74±70}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 70 -74-ს.

$$x=-\frac{144}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-144}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 16-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{9}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$16x^{2}+74x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

16-ზე გაყოფა აუქმებს 16-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{74}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

გაყავით \frac{37}{8}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{37}{16}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{37}{16}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{37}{16} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{16} \frac{1369}{256}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

გამოაკელით \frac{37}{16} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$