გადაწყვიტეთ 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 16x^{2}+ax+bx-9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=-8 b=18$$

ხელახლა დაწერეთ 16x^{2}+10x-9, როგორც \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

8x-ის პირველ, 9-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-1=0 და 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, 10-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 100 576-ს.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

აიღეთ 676-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±26}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 26-ს.

$$x=\frac{16}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{16}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 16-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±26}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 26 -10-ს.

$$x=-\frac{36}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-36}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{9}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$16x^{2}+10x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

16-ზე გაყოფა აუქმებს 16-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

გაყავით \frac{5}{8}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{16}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{16}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{16} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

მიუმატეთ \frac{9}{16} \frac{25}{256}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

გამოაკელით \frac{5}{16} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$