გადაწყვიტეთ 16x^2+160x=48000

$$16 { x }^{ 2 } +160x=48000$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-60$$

$$x=50$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 48000 ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+160x-48000=0$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-3000. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=-50 b=60$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+10x-3000, როგორც \left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

x-ის პირველ, 60-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-50 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-50=0 და x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$16x^{2}+160x=48000$$

გამოაკელით 48000 განტოლების ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+160x-48000=48000-48000$$

48000-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$16x^{2}+160x-48000=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, 160-ით b და -48000-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 16\left(-48000\right)}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში 160.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 16\left(-48000\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-64\left(-48000\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე -48000.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600+3072000}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 25600 3072000-ს.

$$x=\frac{-160±\sqrt{3097600}}{2\times 16}$$

აიღეთ 3097600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-160±1760}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{-160±1760}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-160±1760}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -160 1760-ს.

$$x=\frac{1600}{32}$$

გაყავით 1600 32-ზე.

$$x=50$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-160±1760}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1760 -160-ს.

$$x=-\frac{1920}{32}$$

გაყავით -1920 32-ზე.

$$x=-60$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=50 x=-60$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+160x=48000$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$\frac{16x^{2}+160x}{16}=\frac{48000}{16}$$

16-ზე გაყოფა აუქმებს 16-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{160}{16}x=\frac{48000}{16}$$

გაყავით 160 16-ზე.

$$x^{2}+10x=\frac{48000}{16}$$

გაყავით 48000 16-ზე.

$$x^{2}+10x=3000$$

გაყავით 10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

მიუმატეთ 3000 25-ს.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+10x+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

გაამარტივეთ.

$$x+5=55 x+5=-55$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=50 x=-60$$