გადაწყვიტეთ 15x^2+8x-66=0

$$15 x ^ { 2 } + 8 x - 66 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{1006} - 4}{15} \approx 1.847833537$$

$$x=\frac{-\sqrt{1006}-4}{15}\approx -2.38116687$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$15x^{2}+8x-66=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 15-ით a, 8-ით b და -66-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15\left(-66\right)}}{2\times 15}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15\left(-66\right)}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 15.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-60\left(-66\right)}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -60-ზე -66.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+3960}}{2\times 15}$$

მიუმატეთ 64 3960-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{4024}}{2\times 15}$$

აიღეთ 4024-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{1006}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 15.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{1006}}{30}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{1006}}{30} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 2\sqrt{1006}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{1006}-8}{30}$$

გაყავით -8+2\sqrt{1006} 30-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{1006}-4}{15}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{1006}}{30} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{1006} -8-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{1006}-8}{30}$$

გაყავით -8-2\sqrt{1006} 30-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{1006}-4}{15}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{1006}-4}{15} x=\frac{-\sqrt{1006}-4}{15}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+8x-66=0$$

მიუმატეთ 66 განტოლების ორივე მხარეს.

$$15x^{2}+8x-66-\left(-66\right)=-\left(-66\right)$$

-66-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$15x^{2}+8x=-\left(-66\right)$$

გამოაკელით -66 0-ს.

$$15x^{2}+8x=66$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$\frac{15x^{2}+8x}{15}=\frac{66}{15}$$

15-ზე გაყოფა აუქმებს 15-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x=\frac{66}{15}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{66}{15} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x=\frac{22}{5}$$

გაყავით \frac{8}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{4}{15}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{4}{15}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{22}{5}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{15} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{22}{5}+\frac{16}{225}$$

მიუმატეთ \frac{22}{5} \frac{16}{225}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{1006}{225}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1006}{225}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1006}{225}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{1006}}{15} x+\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{1006}}{15}$$

გამოაკელით \frac{4}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{1006}-4}{15} x=\frac{-\sqrt{1006}-4}{15}$$