გადაწყვიტეთ 15x^2+7x=4

$$15 x ^ { 2 } + 7 x = 4$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 15x^{2}+ax+bx-4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=15\left(-4\right)=-60$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=-5 b=12$$

ხელახლა დაწერეთ 15x^{2}+7x-4, როგორც \left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right)$$

5x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-1=0 და 5x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$15x^{2}+7x=4$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$15x^{2}+7x-4=4-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 15-ით a, 7-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -60-ზე -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 15}$$

მიუმატეთ 49 240-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 15}$$

აიღეთ 289-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 15.

$$x=\frac{-7±17}{30}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±17}{30} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 17-ს.

$$x=\frac{10}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±17}{30} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 17 -7-ს.

$$x=-\frac{24}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-24}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{4}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+7x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$\frac{15x^{2}+7x}{15}=\frac{4}{15}$$

15-ზე გაყოფა აუქმებს 15-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{4}{15}$$

გაყავით \frac{7}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{30}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{30}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{30} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{4}{15}+\frac{49}{900}$$

მიუმატეთ \frac{4}{15} \frac{49}{900}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{289}{900}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{289}{900}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{900}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{17}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{17}{30}$$

გამოაკელით \frac{7}{30} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$