გადაწყვიტეთ 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 15x^{2}+ax+bx+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=5 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 15x^{2}+11x+2, როგორც \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

5x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x+1=0 და 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 15-ით a, 11-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -60-ზე 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

მიუმატეთ 121 -120-ს.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±1}{30} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 1-ს.

$$x=-\frac{10}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±1}{30} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 -11-ს.

$$x=-\frac{12}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15-ზე გაყოფა აუქმებს 15-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

გაყავით \frac{11}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{30}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{30}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{30} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

მიუმატეთ -\frac{2}{15} \frac{121}{900}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

გამოაკელით \frac{11}{30} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$