გადაწყვიტეთ 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 15x^{2}+ax+bx-4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 4.

$$a=-6 b=10$$

ხელახლა დაწერეთ 15x^{2}+4x-4, როგორც \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

3x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x-2=0 და 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 15-ით a, 4-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ -60-ზე -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

მიუმატეთ 16 240-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

აიღეთ 256-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±16}{30} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 16-ს.

$$x=\frac{12}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{12}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±16}{30} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 16 -4-ს.

$$x=-\frac{20}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-20}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$15x^{2}+4x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15-ზე გაყოფა აუქმებს 15-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

გაყავით \frac{4}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{2}{15}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{2}{15}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{2}{15} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

მიუმატეთ \frac{4}{15} \frac{4}{225}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

გამოაკელით \frac{2}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$