გადაწყვიტეთ 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0.285714286$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 14x^{2}+ax+bx-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-4 b=7$$

ხელახლა დაწერეთ 14x^{2}+3x-2, როგორც \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 2x 14x^{2}-4x-ში.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 7x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 7x-2=0 და 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 14-ით a, 3-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

გაამრავლეთ -56-ზე -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

მიუმატეთ 9 112-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±11}{28} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 11-ს.

$$x=\frac{8}{28}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{8}{28} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±11}{28} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 -3-ს.

$$x=-\frac{14}{28}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-14}{28} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 14-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

გამოაკელით -2 0-ს.

$$14x^{2}+3x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 14-ზე.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

14-ზე გაყოფა აუქმებს 14-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{14} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

გაყავით \frac{3}{14}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{28}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{28}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{28} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

მიუმატეთ \frac{1}{7} \frac{9}{784}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

გამოაკელით \frac{3}{28} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$