გადაწყვიტეთ 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 14x^{2}+ax+bx-15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -29.

$$a=-35 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 14x^{2}-29x-15, როგორც \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

7x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-5=0 და 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 14-ით a, -29-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

აიყვანეთ კვადრატში -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

გაამრავლეთ -56-ზე -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

მიუმატეთ 841 840-ს.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

აიღეთ 1681-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

-29-ის საპირისპიროა 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{29±41}{28} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 29 41-ს.

$$x=\frac{70}{28}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{70}{28} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 14-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{29±41}{28} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 41 29-ს.

$$x=-\frac{12}{28}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{28} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

გამოაკელით -15 0-ს.

$$14x^{2}-29x=15$$

ორივე მხარე გაყავით 14-ზე.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

14-ზე გაყოფა აუქმებს 14-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

გაყავით -\frac{29}{14}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{29}{28}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{29}{28}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{29}{28} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

მიუმატეთ \frac{15}{14} \frac{841}{784}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

მიუმატეთ \frac{29}{28} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$