გადაწყვიტეთ 13x^2+5x+4=0

$$13 x ^ { 2 } + 5 x + 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{183}i}{26}\approx -0.192307692+0.520298048i$$

$$x=\frac{-\sqrt{183}i-5}{26}\approx -0.192307692-0.520298048i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$13x^{2}+5x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 13-ით a, 5-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 13.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-52\times 4}}{2\times 13}$$

გაამრავლეთ -52-ზე 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-208}}{2\times 13}$$

მიუმატეთ 25 -208-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-183}}{2\times 13}$$

აიღეთ -183-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±\sqrt{183}i}{2\times 13}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 13.

$$x=\frac{-5±\sqrt{183}i}{26}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{183}i}{26} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 i\sqrt{183}-ს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{183}i}{26}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{183}i}{26} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{183} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{183}i-5}{26}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i-5}{26}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}+5x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$13x^{2}+5x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$13x^{2}+5x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 13-ზე.

$$\frac{13x^{2}+5x}{13}=-\frac{4}{13}$$

13-ზე გაყოფა აუქმებს 13-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{13}x=-\frac{4}{13}$$

გაყავით \frac{5}{13}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{26}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{26}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{13}x+\left(\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{4}{13}+\left(\frac{5}{26}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{26} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{4}{13}+\frac{25}{676}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{13} \frac{25}{676}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{183}{676}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{183}{676}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{183}{676}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{183}i}{26} x+\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{183}i}{26}$$

გამოაკელით \frac{5}{26} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i-5}{26}$$