გადაწყვიტეთ 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 13n^{2}+an+bn-120. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -41.

$$a=-65 b=24$$

ხელახლა დაწერეთ 13n^{2}-41n-120, როგორც \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

13n-ის პირველ, 24-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი n-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-5=0 და 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 13-ით a, -41-ით b და -120-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

აიყვანეთ კვადრატში -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

გაამრავლეთ -52-ზე -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

მიუმატეთ 1681 6240-ს.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

აიღეთ 7921-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41-ის საპირისპიროა 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{41±89}{26} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 41 89-ს.

$$n=\frac{130}{26}$$

გაყავით 130 26-ზე.

$$n=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{41±89}{26} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 89 41-ს.

$$n=-\frac{48}{26}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-48}{26} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$n=-\frac{24}{13}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

მიუმატეთ 120 განტოლების ორივე მხარეს.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

გამოაკელით -120 0-ს.

$$13n^{2}-41n=120$$

ორივე მხარე გაყავით 13-ზე.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13-ზე გაყოფა აუქმებს 13-ზე გამრავლებას.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

გაყავით -\frac{41}{13}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{41}{26}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{41}{26}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{41}{26} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

მიუმატეთ \frac{120}{13} \frac{1681}{676}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

გაამარტივეთ.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

მიუმატეთ \frac{41}{26} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$