გადაწყვიტეთ 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 40-ზე.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-2300. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 200.

$$a=-30 b=230$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+200x-2300, როგორც \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

3x-ის პირველ, 230-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-10 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-10=0 და 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 120-ით a, 8000-ით b და -92000-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

გაამრავლეთ -480-ზე -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

მიუმატეთ 64000000 44160000-ს.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

აიღეთ 108160000-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8000±10400}{240} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8000 10400-ს.

$$x=\frac{2400}{240}$$

გაყავით 2400 240-ზე.

$$x=10$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8000±10400}{240} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10400 -8000-ს.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-18400}{240} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 80-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{230}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

მიუმატეთ 92000 განტოლების ორივე მხარეს.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

-92000-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

გამოაკელით -92000 0-ს.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

ორივე მხარე გაყავით 120-ზე.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120-ზე გაყოფა აუქმებს 120-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{8000}{120} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 40-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{92000}{120} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 40-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

გაყავით \frac{200}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{100}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{100}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{100}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

მიუმატეთ \frac{2300}{3} \frac{10000}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

გამოაკელით \frac{100}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$