გადაწყვიტეთ 12x^2-8x+3=0

$$12 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3}\approx 0.333333333+0.372677996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3}\approx 0.333333333-0.372677996i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12x^{2}-8x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, -8-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48\times 3}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-144}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 64 -144-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-80}}{2\times 12}$$

აიღეთ -80-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 12}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{24} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 4i\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{8+4\sqrt{5}i}{24}$$

გაყავით 8+4i\sqrt{5} 24-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{24} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{5} 8-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+8}{24}$$

გაყავით 8-4i\sqrt{5} 24-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-8x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x^{2}-8x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$12x^{2}-8x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12x^{2}-8x}{12}=-\frac{3}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{12}\right)x=-\frac{3}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-8}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{4}$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{5}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{6} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{6}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{5}i}{6}+\frac{1}{3}$$