გადაწყვიტეთ 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, -12-ით b და -6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 144 288-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

აიღეთ 432-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 12\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

გაყავით 12+12\sqrt{3} 24-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12\sqrt{3} 12-ს.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

გაყავით 12-12\sqrt{3} 24-ზე.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

-6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

გამოაკელით -6 0-ს.

$$12x^{2}-12x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

გაყავით -12 12-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$