გადაწყვიტეთ 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

ამოხსნა r-ისთვის

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 12r^{2}+ar+br-15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -11.

$$a=-20 b=9$$

ხელახლა დაწერეთ 12r^{2}-11r-15, როგორც \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

4r-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3r-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3r-5=0 და 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, -11-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 121 720-ს.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

აიღეთ 841-ის კვადრატული ფესვი.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება r=\frac{11±29}{24} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 29-ს.

$$r=\frac{40}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{40}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$r=\frac{5}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება r=\frac{11±29}{24} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 29 11-ს.

$$r=-\frac{18}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-18}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$r=-\frac{3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

გამოაკელით -15 0-ს.

$$12r^{2}-11r=15$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{15}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

გაყავით -\frac{11}{12}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{24}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{24}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{24} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} \frac{121}{576}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

დაშალეთ მამრავლებად r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

გაამარტივეთ.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

მიუმატეთ \frac{11}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$