გადაწყვიტეთ 12x^2-88x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -88x+400 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}\approx 3.666666667+4.459696053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}\approx 3.666666667-4.459696053i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, -88-ით b და 400-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{\left(-88\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში -88.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-48\times 400}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე 400.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-19200}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 7744 -19200-ს.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{-11456}}{2\times 12}$$

აიღეთ -11456-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

-88-ის საპირისპიროა 88.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 88 8i\sqrt{179}-ს.

$$x=\frac{88+8\sqrt{179}i}{24}$$

გაყავით 88+8i\sqrt{179} 24-ზე.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8i\sqrt{179} 88-ს.

$$x=\frac{-8\sqrt{179}i+88}{24}$$

გაყავით 88-8i\sqrt{179} 24-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

გამოაკელით 400 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x^{2}-88x+400-400=-400$$

400-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$12x^{2}-88x=-400$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12x^{2}-88x}{12}=-\frac{400}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{88}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-88}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{400}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-400}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{100}{3}$$

გაყავით -\frac{22}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{121}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{100}{3} \frac{121}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{179}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{179}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{\sqrt{179}i}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{\sqrt{179}i}{3}$$

მიუმატეთ \frac{11}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$