გადაწყვიტეთ 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, 25-ით b და -45-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 625 2160-ს.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -25 \sqrt{2785}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{2785} -25-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

მიუმატეთ 45 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

-45-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

გამოაკელით -45 0-ს.

$$12x^{2}+25x=45$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{45}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

გაყავით \frac{25}{12}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{25}{24}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{25}{24}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{25}{24} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

მიუმატეთ \frac{15}{4} \frac{625}{576}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

გამოაკელით \frac{25}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$